Το μάθημα των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μαζί με εκείνο της Διαφορικής Γεωμετρίας είναι τα πρώτα, στα οποία ο φοιτητής καλείται να χρησιμοποιήσει ιδέες και τεχνικές του Απειροστικού Λογισμού πολλών μεταβλητών.
Περιγραφή
Από τον πρόλογο του βιβλίου
Το μάθημα των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μαζί με εκείνο της Διαφορικής Γεωμετρίας είναι τα πρώτα, στα οποία ο φοιτητής καλείται να χρησιμοποιήσει ιδέες και τεχνικές του Απειροστικού Λογισμού πολλών μεταβλητών. Αναμφίβολα, ο κύριος σκοπός του βιβλίου είναι η εξοικείωση του φοιτητή με τις υπολογιστικές πλευρές των ΜΔΕ μέσω της διδασκαλίας των βασικών τεχνικών. Αυτές συνοψίζονται ως εξής:
Μέθοδος χαρακτηριστικών (Αναγωγή σε ΣΔΕ)
Μέθοδος χωρισμού μεταβλητών (Σειρές Fourier)
Μέθοδος αναπαραστάσεων (Συναρτήσεις Green).
Η προσέγγιση είναι αυστηρή, αλλά ο τρόπος παρουσίασης λεπτομερής και στοιχειώδης από τεχνικής άποψης. Επίσης, έχει καταβληθεί προσπάθεια για την ανάδειξη των σχέσεων με άλλες περιοχές των Μαθηματικών. Φυσικά ο κύριος όγκος του βιβλίου αφορά τη γραμμική θεωρία· παρά ταύτα, μη γραμμικές εξισώσεις μελετώνται σε κάποιο βαθμό ώστε ο αναγνώστης να διαμορφώσει μια ισορροπημένη άποψη.
Τα κεφάλαια του βιβλίου αφορούν:
ΜΔΕ πρώτης τάξης.
Την κυματική εξίσωση στην ευθεία.
Τις σειρές Fourier:
Την εξίσωση της θερμότητας στην ευθεία.
Την αρχή του μεγίστου.
Την εξίσωση του Laplace.
Τις ταυτότητες του Green, τις συναρτήσεις Green και εφαρμογές.
Καταβάλαμε προσπάθεια να κρατήσουμε τα κεφάλαια του βιβλίου στο μεγαλύτερο δυνατό βαθμό ανεξάρτητα μεταξύ τους, για να εξασφαλίσουμε ευχέρεια επιλογής στον διδάσκοντα και ανεξάρτητης μελέτης στον αναγνώστη.
Στην παρούσα δεύτερη, αναθεωρημένη έκδοση δίνουμε περισσότερα στοιχεία για τη συνθήκη Rankine-Hugoniot και τη μέθοδο του ιξώδους, στην παράγραφο 1.8 και ιδιαίτερα στις υποενότητες 1.8.3 και 1.8.4. Προσθέσαμε ακόμα την παράγραφο 4.3 για τη φυσική προέλευση της κυματικής εξίσωσης. Έγιναν επίσης διάφορες διορθώσεις, κυρίως παροραμάτων, προσθήκες, ιδιαίτερα ασκήσεων στα κεφάλαια 1, 3, 5 και 6 και παραδειγμάτων, καθώς και αποσαφηνίσεις.
